Question

已知函数f(x)=x丨x-a丨+x在R上为单调函数,则a的取值范围

Answer 1

当x>a时，f(x)=x(x-a)+x=x2-(a-1)x=[x- (a-1)/2]2- (a-1) 2 /4【函数图像开口向上，只有单增，才会对x属于x>a恒成立】 当x<a时，f(x)=x(a-x)+x=-x2+(1+a)x=-[x- (a+1)/2] 2+ (a-1) 2 /4【函数图像开口向下，只有单增，才会对x属于x<a恒成立】 则由题意得： f(x)=x丨x-a丨+x在R上为单调递增函数 则由题意得： a > (a-1)/2 且 a < (a+1)/2 即2a<a+1且2a>a+1【 x=(a-1)/2 x=(a+1)/2 是对称轴,函数图像必须在(-00,a),[a,+00)上单调递增】 即a>-1且a<1 即-1<a<1

Answer 2

当x>a时，f(x)=x(x-a)+x=x２-(a-1)x=[x- (a-1)/2]２- (a-1) ２ /4【函数图像开口向上，只有单增，才会对x属于x>a恒成立】 当x<a时，f(x)=x(a-x)+x=-x２+(1+a)x=-[x- (a+1)/2] ２+ (a-1) ２ /4【函数图像开口向下，只有单增，才会对x属于x<a恒成立】 则由题意得： f(x)=x丨x-a丨+x在R上为单调递增函数 则由题意得： a > (a-1)/2 且 a < (a+1)/2 即2a<a+1且2a>a+1【 x=(a-1)/2 x=(a+1)/2 是对称轴,函数图像必须在(-00,a),[a,+00)上单调递增】 即a>-1且a<1 即-1<a<1

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