Question

一个关于数列的证明问题

比如一个等差数列，第三项减去第一项a3-a1=2d,第四项减去第二项a4-a2=2d,这个在所有等差数列里都成立么？如果成立，那么反过来，一个数列有a3-a1=2d，a4-a2=2d（这里的2d指的是一个常数，不是2倍公差）这样的形式，那么这个数列就一定是等差数列吗

Answer 1

如果一个数列弯族满足an+2-an=2d，这个数列不一定是等差数列。
an+3-an+1=2d
两个式子相减，an+3-an+1-an+2+an=0
an+3=an+2+an+1-an
特征方程为x³=x²+x-1，根为-1和1（其中1是重根）
所以设an=A*(-1)^n+Bn+C
其中n=1时a1=a1，n=2时a2=a2，n=3时a3=a1+2d
所以a1=-A+B+C
a2=A+2B+C
a3=-A+3B+C=a1+2d，或a1=-A+3B+C-2d
方程一和三相减，得0=2B-2d，态凳B=d
方程一和三相减，得a2-a1=2A+d，A=(a2-a1-d)/2
方程一和三相加，得a2+a1=3d+2C，帆闹旅C=(a2+a1-3d)/2
所以an=(-1)^n*(a2-a1-d)/2+dn+(a2+a1-3d)/2
当a2-a1-d≠0，即a2≠a1+d时，含有(-1)^n这一项不为0。而等差数列通项公式中，没有(-1)^n这种项，所以这个数列不一定是等差数列。