Question

求极限limx/(e^x-e^-x) （x->0）

这是08年成考 高数（一）的一道题， 答案是limx/(e^x-e^-x) =lim 1/(e^x+e^-x)=1/2, 不知道怎么由limx/(e^x-e^-x) =lim 1/(e^x+e^-x)的？？？
而且类似的极限的题没有解答的方法，就是e^-x这种类型的极限的题，x在指数上，而且不能用 (1-x)^1/x的公式去解，这种题怎么做呢？

Answer 1

洛比达法则 做

limx/(e^x-e^-x)= limx’/(e^x-e^-x) ’=lim 1/(e^x+e^-x)=1/2

洛比达法则
洛必达法则(L'Hospital)法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值得方法。
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

Answer 2

都没有说X趋于0还是无限啊

Answer 3

根据罗比达法则
对limf(x)/g(x)(x→x0）时
如果limf(x)(x→x0）=0
limg(x)(x→x0)=0
那么limf(x)/g(x)(x→x0)=limf`(x)/g`(x) (x→0)
f`(x) g`(x)为f(x) g(x)的导数
在本题中 x趋于0时 x趋于0 e^x-e^(-x)趋于0
可以用罗比达法则
对x求导为1 对e^x-e^(-x)求导为e^x+e^(-x)
故limx/(e^x-e^-x) =lim 1/(e^x+e^-x)=1/2

Answer 4

罗笔塔法则
分子分母同时求导数