Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）证明

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）证明：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点
∵E为侧棱PD的中点
∴EO∥

1

2

PB，且EO＝

1

2

PB，
又PB?平面EAC，EO?平面EAC，∴PB∥平面EAC．    …（4分）

（2）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥侧面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥侧面PAD
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．    …（9分）
（3）解：在PC上取点M使得PM＝

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME为二面角A-PC-D的平面角．…（12分）
在Rt△AEM中，tan∠AME＝

AE

ME

＝

3 2

1 2 × 2 2

＝

6

．
即二面角A-PC-D的正切值为

6

…（14分）