Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，过B、C两点的⊙O交AB于点P，点E是弧PB上一

如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，过B、C两点的⊙O交AB于点P，点E是弧PB上一点，D在CA的延长线上，且P为△CDE的内心。
（1）求证：AC=EC;
（2）若tan∠D=2，如图2，求tan∠CBE的值。

Answer 1

1、连接CP，则CP平分∠ACE，故∠ACP=∠ECP，连接PE。
∵∠ACB=90°且AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠CEP=∠B，∴∠CEP=∠CAB，在△ACP和△ECP中，∵∠ACP=∠ECP，∠CEP=∠CAB，CP共用，∴△ACP≌△ECP，∴AC=EC。
2、∵∠CEP=∠B=45°，∴∠CED=2∠CEP=90°，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠DCE+∠ECB=∠DCB=90°，∴∠D=∠ECB，过E作EF⊥BC于F，∵tan∠D=2，∴tan∠ECB=2=EF/CF，设CF=x，则EF=2x，根据勾股定理可得CE=√5 x，∵AC=EC且AC=BC，∴BC=EC=√5 x，∴tan∠CBE=EF/BF=EF/(BC-CF)=(2x)/(√5 x-x)=2/(√5-1)=(√5+1)/2

Answer 2

（1）证明：
∵∠ACB=90，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°（等边对等角）；
连接CP、BE，因为P是△CDE的内心，所以∠PCA=∠PCE；
而∠PCE=∠PBE（同圆或登圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴∠CPB=∠PCA+∠CAP=∠CEB=∠CBA+∠PBE=∠CBE（等量代换，同弧所对的圆周角相等）
∴CE=CB=CA（等角对等边、等量代换）
（2）解：

Answer 3

1 令圆O与AC交于M,连EM,BM,CP, BE
CP平分<ACE (内心性质) <PCE=<AFE/2
<PCE=<PBE (同弧所对圆周角)
<ACE=<MBE (同弧所对圆周角)
所以; <PBE=<MBE/2=<MBP(等量代换)
<BEC=<BMC> (同弧所对圆周角)
<BMC=90-<MBC=90-<PBC+<PBM=45+<PBM (内角和等于180)

<EBC=<PBC+<PBE=45+<PBM
所以: <EBC=<BEC CBE为等腰三角形 CE=BC=AC
(2) PE平分<DEC (内心性质)
<PEC=<PBC=45 (同弧所对圆周角)
<DEC=90 tan<D=2=CE/DE
tan<ACE=1/2
tan<PBE=tan<PCE=tan(<ACE/2)=1/(2+√5)
tan∠CBE=tan(45+<PBE)=[1+1/(2+√5)]/[1-1/(2+√5)]
=(√5+3)/(√5-1)

Answer 4

感谢各位的解答！