Question

已知函数f（x）=ax+11?ax（a＞0且a≠0），函数g（x）与f（x）的图象关于y=x对称． （1）求g（x）的解析式

已知函数f（x）=ax+11?ax（a＞0且a≠0），函数g（x）与f（x）的图象关于y=x对称． （1）求g（x）的解析式；（2）判断g（x）在（1，+∞）内的单调性．

Answer 1

（1）∵g（x）与f（x）的图象关于y=x对称，
∴g（x）=f^-1（x），
∵f（x）=

ax+1

1?ax

=

ax?1+2

1?ax

＝?1?

2

ax?1

，
∴y＞1或y＜-1，即函数f（x）的值域为{y|y＞1或y＜-1}，
由y=f（x）=

ax+1

1?ax

得ax＝

y?1

y+1

，
即x=loga

y?1

y+1

，
∴f?1(x)＝loga

x?1

x+1

，
即g（x）=f?1(x)＝loga

x?1

x+1

，（x＞1或x＜-1）．
（2）∵

x?1

x+1

＝

x+1?2

x+1

＝1?

2

x+1

，
∴当x＞1时，函数y=

x?1

x+1

单调递增，
若a＞1，则g（x）=f?1(x)＝loga

x?1

x+1

单调递增，
若0＜a＜1，则g（x）=f?1(x)＝loga

x?1

x+1

，单调递减．