Question

已知函数f(x)=log2(1+x/1-x)

Answer 1

注，为书写方便，将原对数函数的底2省略。

f(x)=log[(1+x)/(1-x)]=log(1+x)-log(1-x)

(1)f(x1)+f(x2)=log(1+x1)+log(1+x2)-log(1-x1)-log(1-x2)

而1-(x1+x2)/(1+x1x2)=[(1-x1)(1-x2)]/(1+x1x2)

1+(x1+x2)/(1+x1x2)=[(1+x1)(1+x2)]/(1+x1x2)

所以f[(x1+x2)/(1+x1x2)]=f{[(1+x1)(1+x2)/(1+x1x2)]/[1-x1)(1-x2)/(1+x1x2)]}=f{[(1+x1)(1+x2)]/[(1-x1)(1-x2)]}

=log[(1+x1)(1+x2)]-log[(1-x1)(1-x2)]

=log(1+x1)+log(1+x2)-log(1-x1)-log(1-x2)

=f(x1)+f(x2)

(2)f[(a+b)/(1+ab)]=log(1+a)+log(1+b)-log(1-a)-log(1-b)

=-log[(1-b)/(1+b)]+log[(1+a)/(1-a)]

=-f(-b)+log[(1+a)/(1-a)]

=-1/2+log[(1+a)/(1-a)]

=1

所以log[(1+a)/(1-a)]=3/2

(1+a)/(1-a)=2*2^(1/2)

a=(-1+2√2)/(1+2√2)

另注：下次请将函数表达清楚，别让人误解。：）