Question

设a1,a2,a3...,ar是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证: a1+a2,a2,a3,...ar也是此方程的一个基础解系

知道一个用之前学的笨方法，但我想要更简单的方法！越多方法越好，急，谢谢了！！！！

Answer 1

基础解系的定义：如果a1,a2,a3...,ar是线性方程组的解，满足：（1）线性无关；（2）a1,a2,a3...,ar的任一解都可表示为的线性组合，即则称是方程组的一个基础解系。

所以，只要证明
a1+a2,a2,a3,...ar也满足（1）（2）就行。
（1）反证法：假设a1+a2,a2,a3,...ar线性相关，则：存在k1,k2,k3...kr（不全为零）,使得：
k1(a1+a2)+k2a2+....krar=0
可得：
k1a1+(k1+k2)a2+....krar=0
因为：k1、k2、....kr不全为零。所以k1、k1+k2...kr也不全为零。
也就是存在不全为零的一组数，使得k1a1+(k1+k2)a2+....krar=0,所以：
a1,a2...ar线性相关，矛盾！所以a1+a2,a2,a3,...ar线性无关。

（2）设有任意解X,则：
X=k1a1+K2a2+..krar
又：
X=k1(a1+a2)+(k2-k1)a2+....krar
任意一个X解也可以表示为a1+a2,a2,...ar的线性组合。

所以：a1+a2,a2,a3,...ar也是此方程的一个基础解系