Question

已知函数 （I）讨论函数 的单调性；（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。

已知函数 （I）讨论函数 的单调性；（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。

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Answer 1

当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少（-∞，-2]. 当-1＜ ＜0时, 在 单调增加，在 单调减少.

（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜ ＜0时，令 =0，解得 . 则当 时， ＞0； 时， ＜0. 故 在 单调增加，在 单调减少. （Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ，           ① 令 ，则 ①等价于 在（0，+∞）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2].                      ……12分