Question

如图，过抛物线y 2 =2px（p＞0）上一定点P（x 0 ，y 0 ）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x 1 ，y

如图，过抛物线y 2 =2px（p＞0）上一定点P（x 0 ，y 0 ）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， （Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。





Answer 1

解：（Ⅰ）当 时， ， 又抛物线 的准线方程为 ， 由抛物线定义得，所求距离为 ； （Ⅱ）设直线PA的斜率为k PA ，直线PB的斜率为k PB ， 由 ， 相减得 ， 故 ， 同理可得 ， 由PA，PB倾斜角互补知 ， 即 ， 所以 ， 设直线AB的斜率为k AB ， 由 ， 相减得 ， 所以 ， 将 代入得 ， 所以k AB 是非零常数。