Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 成等比数列．（Ⅰ）求

已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明： 1 S 1 + 1 S 2 +… 1 S n ＜ 3 4 ．

Answer 1

由a 1 ，a 4 ，a 13 成等比数列，得 a 4 2 = a 1 a 13 ， 即 ( a 1 +3d ) 2 = a 1 ( a 1 +12d) ，所以 a 1 2 +6 a 1 d+9 d 2 = a 1 2 +12 a 1 d ． 9d 2 =6a 1 d， a 1 = 3 2 d ．则 d= 2 3 a 1 = 2 3 ×3=2 ． （Ⅰ）a n =a 1 +（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1； （Ⅱ） S n =n a 1 + n(n-1)d 2 =3n+ n 2 -n=n(n+2) ． 则 1 S n = 1 n(n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+2 ) ， 所以 1 S 1 + 1    S 2 +… 1 S n = 1 2 (1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 n-1 - 1 n+1 + 1 n - 1 n+2 ) = 1 2 (1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 )= 3 4 - 1 2(n+1) - 1 2(n+2) ＜ 3 4 ．