Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE（1）比较∠A

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．

Answer 1

（1）∠AED=∠ABC． 证明：∵EF垂直平分AB， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠EBA， ∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠EBA， ∴∠DEA=∠ABC； （2）∵△ADE是等腰三角形， ∴∠EAD=∠DEA， ∵∠DEA=∠ABC， 设∠DBC=x°， ∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°， ∴∠ABC=2x°； ∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°， ∵∠ABC+∠CAB=90°， ∴2x+3x=90， 解得：x=18， ∴∠CAB=3x°=54°．