Question

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM^直线a于点M，CN^直线a于

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，连接PM、PN；(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j求证：△BPM≌△CPE；k求证：PM=PN；(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）成立；（3）成立

试题分析：（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到； ②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM= ME，而在Rt△MNE中，PN= ME，即可得到PM=PN． （2）证明方法与②相同． （3）四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立． （1）①如图2： ∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N， ∴∠BMA=∠CNM=90°， ∴BM∥CN， ∴∠MBP=∠ECP， 又∵P为BC边中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， ∴△BPM≌△CPE， ②∵△BPM≌△CPE， ∴PM=PE ∴PM= ME， ∴在Rt△MNE中，PN= ME， ∴PM=PN． （2）成立，如图3，延长MP与NC的延长线相交于点E， ∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N， ∴∠BMN=∠CNM=90° ∴∠BMN+∠CNM=180°， ∴BM∥CN ∴∠MBP=∠ECP， 又∵P为BC中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， ∴△BPM≌△CPE， ∴PM=PE， ∴PM= ME， 则Rt△MNE中，PN= ME， ∴PM=PN． （3）如图4： 四边形M′BCN′是矩形， 根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP， 得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”． 点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．