Question

两正数x，y，满足x+y=1则（x+1/x）(y+1/y)的最小值

过程过程
还有一个。。。
a>b>0，则a^2+1/ab+1/a(a-b)的最小值是

Answer 1

(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=x/y+y/x+xy+1/xy (xy+1/xy不能用均值定理）
=x/y+y/x+xy+（x+y)^2/xy
=2(x/y+y/x)+xy+2 (1=x+y≥2√xy),xy≤1/4，)
≥6+xy=6.25
此时x=y=1/2
方法2
(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=[(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[2-2xy+(xy)^2]/xy=2/xy+xy-2.
设t=xy≤[(x+y)/2]^2=1/4.
f(t)=2/t+t在（0，√2）单减，在（√2，+∞）单增。f(t)=2/t+t在t=1/4时取得最小值。代入得最小为25/4

2）
解：因a>b>0.故a²＞ab＞0.
===>a²-ab＞0,且ab＞0.
由基本不等式可知；
a²+(1/ab)+[1/(a²-ab)]
={(a²-ab)+[1/(a²-ab)]}+[(ab)+1/(ab)]≥2+2=4。
等号仅当a²-ab=1,ab=1时取得；
即当a=√2,b=1/√2时取得。故原式min=4.