Question

判断函数f(x)=x/(x的平方+1)的单调区间,并证明其单调性,

Answer 1

把它看成1/(x+1/x),可以得到它的单调区间是:(-oo，-1），[-1，0），（0，1），[1,+oo)，单调性分别是减少，增加，增加，减少。然而由于原来的函数在x=0处值为0，故中间两个区间可以合并，于是得到最终答案：
(-oo,-1)单调减少
[-1，1）单调增加
[1，+oo）单调减少
证明是容易的。例如：任取x1<x2<-1，则f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)(^2表示平方，后同）=(x1x2-1)(x2-x1)/((x1^2+1)(x2^2+1))
由于分母显然大于0，而分子中第一项大于0，第二项也大于0，所以分数的值大于0，于是得证:f（x）在(-oo，-1）上单调递增。其它的类似可证明。