Question

用向量法证明cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

用向量法证明cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 1

楼上的思路正确，但感觉好像缺点什么。这样是不是更好点？

建立平面直角坐标系，在单位圆上任取两点A，B，设以OX为始边，
OA，OB为终边的角分别为α，-β
则A(cosα,sinα),B(cos(-β),sin(-β))
向量OA·OB=|OA||OB|cos(α+β)=cos(α+β)
又向量OA·OB=(cosα,sinα)(cos(-β),sin(-β))
=cosαcosβ-sinαsinβ
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 2

（Ⅰ）证明：建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，
角α、β的终边分别与单位圆交于p1（cosα，sinα）、p2（cosβ，sinβ），
则由两个向量的数量积的定义可得

OM
•

oON
＝|

OM
||

ON
|cos(α−β)＝cos(α−β)，
再利用两个向量的数量积公式可得

OM
•

ON
＝cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 3

设向量a=(cos(-α),sin(-α))，|向量a|=1
向量b=(cosβ,sinβ), |向量b|=1
向量a•向量b =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
Cos<向量a,向量b >=(向量a•向量b)/ |向量a|•|向量b|
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=cosαcosβ-sinαsinβ
∴Cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 4

（1）OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)
（2）OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ
另一方面,∠AOB=α-β
OA·OB=|OA|·|OB|·cos∠AOB=cos(α-β)
从而　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ