Question

高一数学题急已知函数f(x)在区间G上有定义，若对任意x1,x2∈G，

已知函数f(x)在区间G上有定义，若对任意x1,x2∈G，有f(x1+x2/2)≤1/2[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)为区间G上的凹函数. 判断下列函数是否为给定区间上的凹函数？并分别予以证明. (1）f(x)=-2x²，x∈R. (2）f(x)=2的x次方，x∈R.

Answer 1

证明：（1）不是x∈R上的凹函数。
举反例即可。令x1=1，x2=-1，（x1+x2）/2=0，f(0)=0
1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2*(-2-2)=-2
此时，f(x1+x2/2)>1/2[f(x1)+f(x2)]
所以
f(x)不是x∈R上的凹函数。
（2）是凹函数。
证明如下：任取x1，x2∈R，f(1/2(x1+x2))=2^(1/2(x1+x2))，
1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2(2^x1+2^x2)>=2*(1/2)*(2^x1)*(2^x2)=2^(x1+x2)；