Question

已知椭圆M：： x 2 a 2 + y 2 3 =1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0

已知椭圆M：： x 2 a 2 + y 2 3 =1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S 1 和S 2 ，求|S 1 -S 2 |的最大值．

Answer 1

（I）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b 2 =3， 所以a 2 =4，所以椭圆方程为 x 2 4 + y 2 3 =1； （Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 x 2 4 + y 2 3 =1 y=x+1 ，消掉y，得到7x 2 +8x-8=0， 所以△=288，x 1 +x 2 = - 8 7 ，x 1 x 2 =- 8 7 ， 所以|CD|= 1+ k 2 |x 1 -x 2 |= 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 24 7 ； （Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1， 此时D（-1， 3 2 ），C（-1，- 3 2 ），△ABD，△ABC面积相等，|S 1 -S 2 |=0， 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0）， 设C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ）， 和椭圆方程联立得到 x 2 4 + y 2 3 =1 y=k(x+1) ，消掉y得（3+4k 2 ）x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0， 显然△＞0，方程有根，且x 1 +x 2 =- 8 k 2 3+4 k 2 ，x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ， 此时|S 1 -S 2 |=2||y 1 |-|y 2 ||=2|y 1 +y 2 |=2|k（x 2 +1）+k（x 1 +1）| =2|k（x 2 +x 1 ）+2k|= 12|k| 3+4 k 2 = 12 3 |k| +4|k| ≤ 12 2 3 |k| ×4|k| = 12 2 12 = 3 ，（k= ± 3 2 时等号成立） 所以|S 1 -S 2 |的最大值为 3 ．