Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），若数列

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f（Sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），则a3=9494．

Answer 1

∵对任意的正数x，y都有f（x?y）=f（x）+f（y），
∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3?a_n）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴S_n+2=3a_n…①
当n=1时，S₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
当n≥2时，S_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an?1

=

3

2

，
∴数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，
∴a₃=（

3

2

）²=

9

4

．
故答案为：

9

4

．