Question

求解一道高二的数学题

△ABC中，ABC所对的边分别为abc，tanC=（sinA+sinB）/（cosA+cosB），sin（B-A）=cosC
（1）求角A,C
（2）若 S△ABC=3+（根号3），求a，c

（详细解答，谢谢）

Answer 1

设边长为a,连结BC＇于点O，连结AO，取A＇C的中点E，连结OE，
因为AB＇＝AB＝a√2
所以AO垂直于B'C
因为A'B垂直于平面BB'CC'
所以A'B'垂直于B'C
又OE//A'B'
所以OE垂直于
B'C
所以角EOA为所求
连结AE
在三角形AEO中
OE=1/2A'B'=a/2
在直角三角形A'AC中
AC=
a√2
所以AC=
a√3
AE=A'C/2
=
a√3/2
在直角三角形ACO中
CO=√2/2
所以
AO=a√6/2
三角形AEO的三边可以求出来了，那么,求其中一个角就容易了，没时间算了，你自己完成吧

Answer 2

(1)tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=tan[(A+B)/2]=tan(π-C/2)=1/tan(C/2).
∴tanCtan(C/2)=1.于是设tan(C/2)=t.则有2t²=1-t².解得t＝±(√3)/3
所以C＝π/3.
sin(B-A)=cosC=-cos(B+A)
所以sinBcosA-sinAcosB+cosBcosA-sinBsinA=0
即(sinB+cosB)cosA=(sinB+cosB)sinA
若sinB+cosB=0.则B=3π/4.若sinB+cosB≠0.则A=π/4
又A+B+C=π.所以(A,B,C)=(π/4,5π/12,π/3)

(2)S=absin(π/3)/2=bcsin(π/4)/2=acsin(5π/12)/2=3+√3
∴a=(√6)c/6.c²sin(5π/12)×(√6)/12＝3+√3
即c²=24.a²=4.故可求得a=2.c=2√6

Answer 3

(1)方法一（化角）tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=tan[(A+B)/2]=tan(π-C/2)=1/tan(C/2).
∴tanCtan(C/2)=1.于是设tan(C/2)=t.则有2t2=1-t2.解得t＝±(√3)/3
所以C＝π/3.
sin(B-A)=cosC=-cos(B+A)
所以sinBcosA-sinAcosB+cosBcosA-sinBsinA=0
即(sinB+cosB)cosA=(sinB+cosB)sinA
若sinB+cosB=0.则B=3π/4.若sinB+cosB≠0.则A=π/4
又A+B+C=π.所以B=5π/12
方法二：（化边）(sinA+sinB)/sinC=(cosA+cosB)/cosC,得
(a+b)/c=[a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)]/c(a^2+b^2-c^2)
化简，得
(2)S=absin(π/3)/2=bcsin(π/4)/2=acsin(5π/12)/2=3+√3
∴a=(√6)c/6.c2sin(5π/12)×(√6)/12＝3+√3
即c2=24.a2=4.故可求得a=2.c=2√6