Question

导数难题

已知f(x)=xlnx+lnx-3x>k(k∈Z)对∀x>1/2恒成立，求k的最大值(参考数据:1/6+ln6≈1.96,13/2+ln(13/2)≈2.03)
应该是2/13+ln(13/2)≈2.03

Answer 1

首先，话不多说，先求导，能得几分是几分；
求导f'(x)=lnx+1/x-2；
然后就是求导函数的零点，根据参考值，大概在x=6到x=13/2之间；x=6，导函数值为负数，x=13/2导函数值为正数。我们就假定零点为x=a吧，a在6和6.5之间；
接下来我们就知道了f(x)的单调性了，
当1/2<x<a时，单调递减，当x>a时，单调递增，最小值在x=a处取得。
所以，f(x)>k恒成立，就是说明k恒小于f(x)的最小值，即f(a)；
同时我们知道，f（x）的导函数在x=a处取得0点，故f'(a)=lna+1/a-2=0；
lna=2-1/a；f(a)=（a+1）lna-3a=(a+1)(2-1/a)-3a=1-(a+1/a)，6<a<6.5
（是不是很眼熟，我们知道(a+1/a)以函数对待的话，在a=1处取得最小值为2，a>1后单调递增，这些都是废话，理解不了请无视）；
代入两个端点 f(a)在-31/6到-147/26之间，这个区间大概-5.XXX到-5.XXX，
k只能取整数，所以k取-6就能保证，f（x）>k。