Question

（2014?南通）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的

（2014?南通）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M为边AD中点，
∴MA=MD
在△MAE和△MDF中，

∠A＝∠MDF MA＝MD ∠AME＝∠DMF

∴△MAE≌△MDF（ASA），
∴EM=FM，
又∵MG⊥EM，
∴EG=FG，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：如图1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴BE=AB-AE=3-1=2，BC=AD=4，
∴EM²=AE²+AM²，EC²=BE²+BC²，
∴EM²=1+a²，EC²=4+16=20，
∵CM²=EC²-EM²，
∴CM²=20-1-a²=19-a²，
∴CM=

19?a2

．
∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠MFD，
又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AME=∠MCD，
∵∠MAE=∠CDM=90°，
∴△MAE∽△CDM，
∴

DM

AE

=

CD

AM

，即

4?a

1

=

3

a

，
解得a=1或3，
代入CM=

19?a2

．
得CM=3

2

或

10

．
（3）解：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴