Question

以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为ρco

以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0（ρ＞0），曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝2+2sinα（α为参数），点M是曲线C上的一动点．（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式有

x＝cosα y＝1+sinα

（α为参数），
这是点P轨迹的参数方程，消参得点P的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）直线l的普通方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4
表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，
设所求最小距离为d，则d=

|0?2?1|

2

-2=

3 2

2

-2．
因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为

3 2

2

-2．