Question

（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，AC⊥BC，AC＝CC 1 ，M为AB的中点。 （Ⅰ）求

（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 中，AC⊥BC，AC＝CC 1 ，M为AB的中点。 （Ⅰ）求证：BC 1 ∥平面MA 1 C；（Ⅱ）求证：AC 1 ⊥平面A 1 BC。

Answer 1

（Ⅰ）设AC 1 ∩A 1 C=O，连结MO，四边形AA 1 C 1 C为矩形，AO=OC 1 ， AO=OC 1 ，AM=MB，所以MO∥BC 1 ， 所以 ∥平面MA 1 C（Ⅱ）矩形AA 1 C 1 C中，因为AC=CC 1 ，所以AC 1 ⊥A 1 C，直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 ，所以CC 1 ⊥BC，因为AC⊥BC BC⊥平面ACC 1 A 1 ， 所以BC⊥AC 1 ， 所以AC 1 ⊥平面A 1 BC

试题分析：（Ⅰ）如图，设AC 1 ∩A 1 C=O，连结MO， 因为直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 ， 所以四边形AA 1 C 1 C为矩形， 所以AO=OC 1 , 在△AC 1 B中，因为AO=OC 1 ，AM=MB， 所以MO∥BC 1 .                      3分 又因为 平面MA 1 C，MO 平面MA 1 C， 所以 ∥平面MA 1 C。             6分 （Ⅱ）在矩形AA 1 C 1 C中，因为AC=CC 1 ， 所以AC 1 ⊥A 1 C。                  8分 因为直三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 ， 所以CC 1 ⊥BC， 又因为AC⊥BC，AC∩CC 1 =C， 所以BC⊥平面ACC 1 A 1 ，        10分 所以BC⊥AC 1 。               11分 又因为BC∩A 1 C=C，AC 1 ⊥A 1 C， 所以AC 1 ⊥平面A 1 BC。      13分 点评：平面外一直线与平面内一直线平行，则直线平行于平面；一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面