设函数F(X)对任意实数X，Y都有F(X+Y)=F(X)+F(Y),且X大于0时，F(X)小于0，F(1)=-2. 求证F(X)是奇函数；
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证明：
设y=0
F(X+Y)=F(X)+F(Y),
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(0)=0
f(1-1)=f(1)+f(-1)=0
f(-1)=2=-f(1)
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
所以，f(x)是奇函数
另外：
设y>0,x>0
x+y>x
F(X+Y)=F(X)+F(Y),
f(x+y)-f(x)=f(y)<0
f(x+y)-f(x)<0;x+y>x>0
在x>0时，f(x)是减函数
设y=0
F(X+Y)=F(X)+F(Y),
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(0)=0
f(1-1)=f(1)+f(-1)=0
f(-1)=2=-f(1)
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
所以，f(x)是奇函数
另外：
设y>0,x>0
x+y>x
F(X+Y)=F(X)+F(Y),
f(x+y)-f(x)=f(y)<0
f(x+y)-f(x)<0;x+y>x>0
在x>0时，f(x)是减函数
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