Question

已知函数f（x）=(x平方+2x+a)/x ,x属于[1，+无穷）。 若对任意x属于[1，+无穷），f(x)>0 恒成立，试求实数

a的 取值范围

Answer 1

已知函数f（x）=(x^2+2x+a)/x ,x∈[1，+∞）。 若对任意x∈[1，+∞），f(x)>0 恒成立，试求实数

把f(x)写成f(x)=(x+a/x)^2+2
当a>0的时候，x+a/x的最小值是当x=√a的时候。
所以，当0<a<=1时，f(1)是最小值，即3+a>a/2，得a>-6,所以0<a<=1.
当a>1时，f(√a)是最小值，即2√a+2>a/2,得1<a<12+8√2

当a<=0时，f(x)在定义域内为增函数，所以最小值为f(1),得a>-6,所以-6<a<=0.

综上所述，-6<a<12+8√a

Answer 2

f（x)=x+2+a/x (x≥1).
f(x)>0 =>x+2+a/x>0 =>a>-x(x+2)=-(x+1)^2+1
x≥1，当x=1时-x(x+2)取得最大值 即-3
所以a>-3