Question

已知函数f（x）=2sinxcos 2 θ 2 +cosxsinθ-sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）

已知函数f（x）=2sinxcos 2 θ 2 +cosxsinθ-sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b= 2 ，f（A）= 3 2 ，求角C．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2sinx 1+cosθ 2 +cosxsinθ-sinx =sinx+sinxcosθ+cosxsinθ-sinx =sin（x+θ）． 因为　f（x）在x=π时取最小值， 所以　sin（π+θ）=-1， 故　sinθ=1． 又　0＜θ＜π，所以θ= π 2 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+ π 2 ）=cosx． 因为f（A）=cosA= 3 2 ， 且A为△ABC的角， 所以A= π 6 ． 由正弦定理得　sinB= bsinA a = 2 2 ， 又b＞a， 所以　B= π 4 时， C=π-A-B=π- π 6 - π 4 = 7π 12 ， 当B= 3π 4 时，C=π-A-B=π- π 6 - 3π 4 = π 12 ．