Question

求证 z^n - 1/(z^n) = 2 i sin(nθ),z是复数

Answer 1

这个不知道是不是高中范围的题目，即使不是，那么我也只能用高中知识解决.

接下来要说，此题目好像少了一个条件，就是z是复数，且z的模是1，然后我下面的证明才有意义。

首先，复数先变成三角形式：

然后就用到我提到的z的模为1，因此z与z^-1 为共轭复数，下面继续：

差不多就是了，如确实没有说明z的模是1，那么就恕我无能为力了。

Answer 2

已知复数z=r(cosθ+isinθ)z^2=r^2(cosθ+isinθ)^2=r^2(cos^2θ-sin^2θ+isin2θ)=r^2(cos2θ+isin2θ)z^3=z*z^2=r(cosθ+isinθ)*r^2(cos2θ+isin2θ)=r^3(cosθcos2θ+isin2θcosθ+isinθcos2θ-sinθsin2θ)=r^3(cos3θ+isin3θ)由此可归纳出z^n=r^n(cosnθ+isinnθ)(√3+i)^7=2^7(√3/2+1/2i)^7=2^7(cosπ/6+Isinπ/6)^7=2^7(cos7π/6+isin7π/6)=2^7(-(√3/2-1/2i)=-2^6(√3+i)