求下列曲线的渐近线：y=x³/(x-1)²
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求下列曲线的渐近线：y=x³/(x-1)²
解：令y'=[3x²(x-1)²-2x³(x-1)]/(x-1)^4=[3x²(x-1)-2x³]/(x-1)³
=(x³-3x²)/(x-1)³=x²(x-3)/(x-1)²=0，得驻点x₁=0，x₂=3；x₁不是极值点；x₂是极小点；
miny=y(3)=27/4≈6.7
x→1limy=x→1lim[x³/(x-1)²]=∞，因此有铅直渐近线x=1；
x→+∞lim(y/x)=x→+∞lim[x²/(x-1)²]=x→+∞lim[1/(1-1/x)²]=1;
x→+∞lim[f(x)-x]=x→+∞lim[x³/(x-1)²-x]=x→+∞lim[(2x²-x)/(x-1)²]
=x→+∞lim[(4x-1)/2(x-1)]=x→+∞lim(4/2)=2;
因此有斜渐近线：y=x+2 ; 图像如下：
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2023-08-01 广告
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