Question

三道高一数学题目

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Answer 1

12，
（1）证明：
f(x)的导数f'(x)= -3x²-m，而m＞0，
故f'(x)＜0，所以f(x)为减函数，
故，最小值为f(1)= -1,即
-1-m+n=-1，
所以m=n得证。

13,
（1）证明：
令f(x)=g(x)，则
ax²+bx+c=ax+b，整理得
ax²-(a-b)x+c-b=0
由已知f(x)是二次函数，故a≠0，所以
△=（a-b）²-4a(c-b)
=a²+b²-2ab-4ac+4ab
=(a+b)²-4ac
∵a>b>c，f(1)=0，得a+b+c=0,
∴a＞0，c＜0
∴-ac＞0，
故(a+b)²-4ac＞0，即△＞0
∴图像f(x)与g(x)有两个不同的交点。
（2）设两图像交点A(x1,y1),B(x2,y2)，则
A1B1的距离 d=|x1-x2|
两边平方，得
d²=x1²+x2²-2x1x2=（x1+x2)²-4x1x2
由（1）中，两图像相交的方程ax²-(a-b)x+c-b=0 可知
x1+x2=(a-b)/2a
x1*x2=(c-b)/a
将两式代入d²=（x1+x2)²-4x1x2，得
d²=(a-b)²/(4a²)-4(c-b)/a
开方，可得 d

14，
(1)当m=0时，f(x)=x²+1，此时
f(-x)=(-x)²+1=x²+1=f(x)，
故当m=0时，f(x)为偶函数。

（2）由于x∈[-2,2]，故 x-2≥0，则
f(x)=x²+2m(x-2)+1，即
f(x)=x²+2mx+1-4m x∈[-2,2]
此函数开口向上，对称轴x=-m,
下面根据对称轴位置不同分别讨论：
（i）当-m≤-2，即m≥2时，函数在[-2,2]上单调递增，
故f(x)min=f(-2)=4-4m+1-4m=5-8m
（ii）当-2＜-m≤2，即-2≤m＜2时，函数在[-2,2]上的最小值
f(x)min=f(-m)=m²-2m²+1-4m=1-m²-4m
（iii）当-m＞2，即m＜-2时，函数在[-2,2]上单调递减，故
f(x)min=f(2)=4+4m+1-4m=5