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(2013?路北区三模)已知:如图,直线MN交⊙O于A、B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于点D,过点D作DE⊥
(2013?路北区三模)已知:如图,直线MN交⊙O于A、B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于点D,过点D作DE⊥MN,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2...
(2013?路北区三模)已知:如图,直线MN交⊙O于A、B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于点D,过点D作DE⊥MN,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若∠ADE=30°,⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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解答:
(1)证明:连接OD,
∵OA=OD(⊙O的半径),
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角),
∵AD平分∠CAM(已知),
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE(等量代换),
∴DO∥MN(内错角相等,两直线平行);
∵DE⊥MN(已知),
∴DE⊥OD,
∵D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:过点O作OF⊥AB于F.
∵∠ADE=30°,DE⊥MN,
∴∠DAE=60°;
又∵AD平分∠CAM,
∴∠OAD=∠DAE=60°,
∴∠CAB=60°,
∴∠AOF=30°,
∴∠AOB=60°,
∴cos∠CAB=
=
,
∴AF=1;
∴OF=
,
∴S阴影=S扇形-S△OAB=
-
×2×
=
π-
.
∵OA=OD(⊙O的半径),
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角),
∵AD平分∠CAM(已知),
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE(等量代换),
∴DO∥MN(内错角相等,两直线平行);
∵DE⊥MN(已知),
∴DE⊥OD,
∵D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:过点O作OF⊥AB于F.
∵∠ADE=30°,DE⊥MN,
∴∠DAE=60°;
又∵AD平分∠CAM,
∴∠OAD=∠DAE=60°,
∴∠CAB=60°,
∴∠AOF=30°,
∴∠AOB=60°,
∴cos∠CAB=
AF |
OA |
1 |
2 |
∴AF=1;
∴OF=
3 |
∴S阴影=S扇形-S△OAB=
60π×2 |
180 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
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