Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+c,若a＞0,在（-8，-2）上不单调，且函数图像与x轴相切，求

已知函数f（x）=ax²+2bx+c,若a＞0,在（-8，-2）上不单调，且函数图像与x轴相切，求f（1）/b-2a的最小值？具体过程

Answer 1

在(-8, -2)不单调，即对称轴在此区间内
即-8<-b/a<-2
得2<b/a<8
因a>0, 得2a<b<8a
记t=b-2a, 则0<t<6a, b=2a+t
与x轴相切，即判别式=0，得b²-ac=0, 得c=b²/a
f(1)=a+2b+c=a+2b+b²/a=a+2(2a+t)+(2a+t)²/a=a+4a+2t+4a+4t+t²/a=9a+6t+t²/a
f(1)/(b-2a)=f(1)/t=6+ t/a+9a/t>=6+2√(t/a*9a/t)=12
当t/a=9a/t, 即t=3a时取等号。
所以最小值为12.