Question

设等差数列an的前n项和为sn,且满足s2014>0,s2015<0对任意的正整数n，都有|an|>=|ak|,则k的值是

Answer 1

简单：
∵s2014>0，s2015<0
∴S2014=（a1+a2014）2014/2>0，即a1+a2014>0 ①
同理S2015=（a1+a2015）2015/2<0，即a1+a2015<0 ②
①-②得d<0,将其代入① 得a1>0
由②得 a1+2014d/2=a1+1007d=a1008<0
由①得 0<a1+2013d/2<a1+2012d/2=a1+1006d=a1007
即a1007为正，a1008为负。
再由①得 a1+a2014=a1007+a1008<0，即a1007<-a1008,即|a1007|<|a1008|
可见k=1007。
因为a1>a2>……a1006>a1007 a1至a1007全为正，这些项可以都加上绝对值仍有不等式成立 ③
a1008>a1009>a1010>……,这些项全为负， 故|a1008|<|a1009|<|a1010|<…… ④
由③ ④保证了对任意的正整数n，都有|an|>=|a1007|