Question

已知f（x）=a的x次+a的负x次（a>0且a不等于1） 1、证明函数f（x）关于y轴对称 2。判断f（x）在(0,正无穷)

已知f（x）=a的x次+a的负x次（a>0且a不等于1）
1、证明函数f（x）关于y轴对称
2。判断f（x）在(0,正无穷)的单调性，并用定义加以证明
3，当x属于【1,2】时函数最大值为10/3，求a的值

Answer 1

解：①f(-x)=aˆ-x+aˆ-(-x)=aˆ-x+aˆx=f(x)
∴f(x)为偶函数，关于y轴对称
②f′（x)=aˆxlna-aˆ-xlna=(lna/a^x)(a^2x-1)
ⅰ.当 a>1时, a^2x-1>0，x>0，即f′(x)>0
∴此时f(x)单调增
ⅱ当0<a<1时，a^2x-1<0,x>0，即f′(x)<0
∴此时f(x)单调减
③ⅰ.当 a>1时，f(x)单调增
∴f(x)max=f(2)=a2+a^-2=10/3 ∴a2=3 ∴a=√3
ⅱ当0<a<1时，f(x)单调减
∴f(x)max=f(1)=a+a^-1=10/3 ∴a=3 (舍）
∴综上所述a=√3

Answer 2

1、函数关于y轴对称，其实就是证明其为偶函数，利用定义证明此函数为偶函数即可。
2、利用单调性的定义，设x1>x2>0，作差f(x1)－f(x2)，再进行因式分解，然后判断其正负号就可以了。关键在于变形、判断符号。
3、这是个复合函数，可以换元。设a^x=t，则a负x次方=1/t，这样就出现了一个“对勾”函数，利用对勾函数的值域来研究，求出a的值。答案为：a=根号3或者(根号3)/3。
注：当a>1时，当t=a^2时取得最大值，解得a=根号3；当0<a<1时，当t=a^2时取得最大值，解得a=(根号3)/3。

Answer 3

解：①f(-x)=aˆ-x+aˆ-(-x)=aˆ-x+aˆx=f(x)
f(x)为偶函数，关于y轴对称
②f′（x)=aˆxlna-aˆ-xlna=(lna/a^x)(a^2x-1)
ⅰ.当 a>1时, a^2x-1>0，x>0，即f′(x)>0
此时f(x)单调增
ⅱ当0<a<1时，a^2x-1<0,x>0，即f′(x)<0
此时f(x)单调减
③ⅰ.当 a>1时，f(x)单调增
f(x)max=f(2)=a2+a^-2=10/3 ∴a2=3 ∴a=√3
ⅱ当0<a<1时，f(x)单调减
f(x)max=f(1)=a+a^-1=10/3 ∴a=3 (舍）