Question

已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10?a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小

已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10?a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=（　　）A．20B．17C．19D．21

Answer 1

∵数列{a_n}是等差数列，若a₉+3a₁₁＜0，设公差为d，则有4a₁+38d＜0，即2a₁+19d＜0，
故有（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，且a₁＜-9.5d．
再由前n项和S_n有最大值，可得数列为递减数列，公差d＜0．
结合a₁₀?a₁₁＜0，可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
综上可得-9d＜a₁＜-9.5d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n?1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0．
化简可得 a₁+

n?1

2

d＞0，且a₁+

n

2

d≤0．即 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．
再由-9d＜a₁＜-9.5d，可得 18＜-

2a1

d

＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，
故选C．