如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:
如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明:侧面PAD⊥侧面P...
如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明:侧面PAD⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小.
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(Ⅰ)证:∵侧面PAB垂直于底面ABCD,
且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,
在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面PAB.(3分)
(Ⅱ)证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.(5分)
又AD在平面PAD上,所以,侧面PAD⊥侧面PAB(6分)
(Ⅲ)解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB.垂足为E,连接EC,
∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB.
∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影,(8分)
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角,(10分)
在△PAB和△BEC中,易求得PE=
,EC=
,
在Rt△PEC中,∠PCE=45°(12分)
且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,
在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面PAB.(3分)
(Ⅱ)证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.(5分)
又AD在平面PAD上,所以,侧面PAD⊥侧面PAB(6分)
(Ⅲ)解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB.垂足为E,连接EC,
∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB.
∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影,(8分)
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角,(10分)
在△PAB和△BEC中,易求得PE=
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在Rt△PEC中,∠PCE=45°(12分)
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