Question

如图①,已知AB是○O中一条固定的弦，点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A，B重合）

如图①,已知AB是○O中一条固定的弦，点C是优弧ACB上的一个动点（点C不与A，B重合）
（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P，是猜想点P在劣弧AB上的位置是否会随点C位置的变化而变化？请说明理由。
（2）设AB=8，○O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否是定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，求出四边形ACBP面积的取值范围。

Answer 1

（1）点P在劣弧AB上的位置不会随点C位置的变化而变化：
∵∠ACP=1/2弧AP，∠BCP=1/2弧BP（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）
又：CP是∠ACB的角平分线，即：∠ACP=∠BCP
∴弧AP=弧BP
∴点P在劣弧AB上的位置不会随点C位置的变化而变化。

（2）四边形ACBP的面积不是定值：
∵P是劣弧AB上一定点，即劣弧AB的中点
∴S△PAB是定值：
连接OP，与AB交于M
OP=R=5，OM=根号(OA^2-MA^2)=根号(5^2-4^2)=3
MP=OP-OM=5-3=2
S△PAB=1/2*AB*MP=1/2*8*2=8
C点在优弧AB上移动做CD垂直AB，可知CD最小值大于零，当CD过圆心O时，即D点与M重合时取最大值：CDmax=OC+OM=5+2=7
∴S△CAB＞0，S△CAB≤1/2*AB*CDmax=1/2*8*7=28
∴8＜SACBP≤28+8=36

Answer 2

1.不会，因为弧AB所对的圆周角相等
2.S存在最大值，当P在劣弧AB的中点时
过此时的点O作OF⊥AB，AO=5,AF=4，OF=3∴FP=5-3=2
S=0.5*6*8+0.5*8*2=32
S最小取不到，当P与A或B重合时
则S三角形=0.5*8*6=24
∴24＜S≤32