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已知AB为圆O的直径,D为弧BC 的中点,连接BC,交AD于E,DG垂直于AB于G,
已知AB为圆O的直径,D为弧BC的中点,连接BC,交AD于E,DG垂直于AB于G,求证:1)BD^2=AD8DE2)若tanA=3/4,DG=8,求DE的长...
已知AB为圆O的直径,D为弧BC 的中点,连接BC,交AD于E,DG垂直于AB于G,求证:1)BD^2=AD8DE 2) 若tanA=3/4,DG=8,求DE的长
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(1)因为D为弧BC的中点
所以∠DAB=∠CBD
又∠ADB=∠BDE
所以△ADB∽△BDE
所以DE:DB=DB:DA
所以BD^2=AD*DE
(2)因为tanA=3/4,DG=8
所以DG:AG=3:4=8:32/3
所以AD=40/3
tanA=BD:AD=3:4=10:40/3
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
所以∠DAB=∠CBD
又∠ADB=∠BDE
所以△ADB∽△BDE
所以DE:DB=DB:DA
所以BD^2=AD*DE
(2)因为tanA=3/4,DG=8
所以DG:AG=3:4=8:32/3
所以AD=40/3
tanA=BD:AD=3:4=10:40/3
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
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(1)因为D为弧BC的中点
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
(2)
在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD:AD=3:4
所以BD=10
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
(2)
在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD:AD=3:4
所以BD=10
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
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⑴①∵弧CD=弧BD,∴∠DBC=∠DAB,
∵AB是直径,∴∠BDG+∠ADG=90°,
∵DG⊥AB,∴∠ADG+∠DAB=90°,
∴∠BDG=∠DAB=∠CBD,
∴DF=BF。
②∵∠CBD=∠DAB(由⑴已证),∠ADB为公共角,
∴ΔDAB∽ΔDBE,
∴DA/DB=DB/DE,∴DB^2=DA*DE。
③在RTΔBDE中,∠DBE+∠DEB=90°,∠BDF+∠EDF=90°,
又∠DBF=∠BDF,∴∠DEB=∠EDF,∴EF=DF=BF,
∴BE=2BF,
由②相似得:DB/AB=DE/BE,
∴DE*AB=DB*BE=2DB*BF。
⑶在RTΔADG中,tanA=DG/AG,DG=8,∴AG=32/3,
∴AD=√(AG^2+DG^2)=40/3,
又在RTΔABD中:
tanA=BD:AD=3:4,∴BD=10,
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2。
∵AB是直径,∴∠BDG+∠ADG=90°,
∵DG⊥AB,∴∠ADG+∠DAB=90°,
∴∠BDG=∠DAB=∠CBD,
∴DF=BF。
②∵∠CBD=∠DAB(由⑴已证),∠ADB为公共角,
∴ΔDAB∽ΔDBE,
∴DA/DB=DB/DE,∴DB^2=DA*DE。
③在RTΔBDE中,∠DBE+∠DEB=90°,∠BDF+∠EDF=90°,
又∠DBF=∠BDF,∴∠DEB=∠EDF,∴EF=DF=BF,
∴BE=2BF,
由②相似得:DB/AB=DE/BE,
∴DE*AB=DB*BE=2DB*BF。
⑶在RTΔADG中,tanA=DG/AG,DG=8,∴AG=32/3,
∴AD=√(AG^2+DG^2)=40/3,
又在RTΔABD中:
tanA=BD:AD=3:4,∴BD=10,
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2。
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(1)becauseD为弧BC的中点
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
(2)because在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD:AD=3:4
soBD=10
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
所以∠DAB=∠DBC=∠DBE
因为AB是直径
所以∠ADB=90度
△ADB和△DBE是直角三角形
tan∠DAB=DB:AD
tan∠DBE=DE:DB
因为∠DAB=∠DBE
所以tan∠DAB=tan∠DBE
DB:AD=DE:DB
DB^2=AD*DE
(2)because在直角三角形DAG中tanA=DG:AG=3/4,DG=8
所以AG=32/3
AD^2=AG^2+DG^2
所以AD=40/3
在直角三角形DAB中tanA=BD:AD=3:4
soBD=10
由(1)得BD^2=AD*DE
则DE=BD^2/AD=100/(40/3)=15/2
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