Question

给出下列命题：①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为一个常数），那么函数f（x）必

给出下列命题：①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为一个常数），那么函数f（x）必为偶函数；②如果函数f（x）对任意的x∈R，满足f（2+x）=-f（x），那么函数f（x）是周期函数；③如果函数f（x）对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，那么函数f（x）在R上是减函数； ④通过平移函数y=lgx的图象和函数y=lgx+310的图象能重合．其中真命题的序号______．

Answer 1

①若函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为常数），
则f（x）的图象关于直线x=a对称，
若a=0，则函数为偶函数，故①错误；
②若f（x）对任意的x∈R，满足f（2+x）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的函数，故②正确；
③若函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
则由函数的单调性定义知函数f（x）在R上是减函数，
故③正确；
④函数y=lg

x+3

10

即y=lg（x+3）-1，
其图象可通过函数y=lgx的图象先向左平移3个单位，
再向下平移1个单位得到，故④正确．
故答案为：②③④．