Question

已知函数f(x)=ax2+bx,满足条件f(2)=0，且方程f(x)=x有等根。问：是否存在实数m,n使得定义域与值域分别为[m

a,b为常数，且a不等于0

Answer 1

不存在 理由如下
∵f(2)=0
∴4a+2b=0
b=-2a
∵方程f(x)=x有等根
∴ax^2+（b-1)x=0 的 △=0
（b-1）^2-4a*0=0
b=1 a=-0.5
∴ 原函数为f(x)=(-1/2)*x^2+x

设存在实数m,n m＜n
①f(m)=m f(n)=n
只有一个解 不成立
② f(m)=n f(n)=m
(-1/2)*m^2+m=n ………………一式
(-1/2)*n^2+n=m………………二式
二式代入一式 消去一次的m 得
-m^2=n^2
m=n=0 不成立
综上 不存在

Answer 2

解：
f(2)=4a+2b=0
f(x)=ax2+bx=x 可得：ax^2+（b-1)x=0
a[(x+(b-1)/2a)^2-(b-1)^2/4a^2]=0
即：当x= -(b-1)/2a时，有等根。
a[-(b-1)^2/4a^2]=0
又因为a不等于0
所以：-(b-1)^2/4a^2=0
b=1
a= -1/2
所以：f(x)= -1/2x+x

假设存在实数m,n m<n
①f(m)=2m f(n)=2n
只有一个解 不成立
② f(m)=2n f(n)=2m
(-1/2)*m^2+m=2n (1)
(-1/2)*n^2+n=2m (2)
(2)-(1),得
-(n-m)(n+m)/2+3(n-m)=0
(n-m)[3-(n+m)/2]=0
m<n
3-(n+m)/2=0
n+m=6 得：m=6-n 带入（1）可得：
(-1/2)*(6-n)^2+6-n=2n
n^2-6n+24=0
△=(-6)^2-4*24<0
无解
所以不存在实数m,n，使得m域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]
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