Question

对于函数f(x)=ax²+(b+1)x+b-2(a＞0),若存在实数m,使f(m)=m成立，则称m为f(x)的不动点。

（1）.对任意b， f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围
（2）.在（1）的条件下判断直L:y=ax-2a²与圆(x-2)²+(y-3)³=4a²+4的位置关系。

请给出过程。第一问希望不要直接引用别人的。

Answer 1

（1）函数f(x)恒有两个相异的不动点，即方程ax²+(b+1)x+b-2=x恒有两个不等实根。
ax²+bx+b-2=0
则△=b²-4a(b-2)>0恒成立。
b²-4ab+8a>0,把它看作关于b的不等式，对任意实数b恒成立。
则它的判别式△’=16a²-32a<0,所以0<a<2.

（2）圆心（2,3）到直线L:ax -y -2a²=0的距离为：
d=|2a-3a-2a²|/√(a²+1)=|2a²+ a | /√(a²+1)，
圆的半径R为2√(a²+1)，
d/R=|2a²+ a | /[2(a²+1)] =|2a²+ a | /[2a²+2]
∵0<a<2，∴d/R=|2a²+ a | /[2a²+2]<1.
即圆心到直线的距离小于半径，
所以直线与圆相交。

Answer 2

(1)对任意b， f(x)恒有两个相异的不动点，即f(x)=x有两个不同的解，化简为ax²+bx+b-2=0,所以：
当b=2时，ax²+bx=0，a不等于0即可；
当b不等于2时，则b^2-4a(b-2)>0，当b>2时，a<b^2/4(b-2)；当b<2时，a>b^2/4(b-2)

Answer 3

(1)f(x)=x
ax^2+(b+1)x+b-2=x
ax^2+bx+b-2=0
有两个不同的实根
b^2-4a(b-2)>0
b^2-4ab+8a>0
(b-2a)^2+8a-4a^2>0
对任意b都恒成立，只有 8a-4a^2>0，而 a>0，所以 有 a<2
即 a∈(0,2)
(2)圆心是 (2,3),半径 r=√(4a^2+4)=2√(a^2+1)
我们考虑圆心到直线L的距离d，比较d与r 的大小，来判断它们的关系
d=|y-ax+2a^2|/√(1+a^2)
=|3-2a+2a^2|/√(1+a^2)
3-2a+2a^2=2(a-1/2)^2+5/2>0
所以 d=(3-2a+2a^2)/√(1+a^2)
√(1+a^2)*d=3-2a+2a^2
√(1+a^2)*r=2√(a^2+1)*√(a^2+1)=2a^2+2
这样，作两式的差：
3-2a+2a^2-(2a^2+2)=1-2a
当 1-2a=0，即 a=1/2时 d=r，直线与圆相切
1-2a<0，即 1/2<a<2 时， d<r，直线与圆 相交
1-2a>0，即 0<a<1/2时， d>r，直线与圆相离

Answer 4

（1）f(x)=x=ax²+(b+1)x+b-2，即ax²+bx+b+2=0有两个实数根，则△=b²-4a（b-2）＞0，对任意b均成立，即（b-2a）²+8-4a²＞0，当b=2a时仍满足不等式，即8-4a²＞0，得-√2<a<√2
（2）假设圆与直线相交（包括相切），则方程组y=ax-2a²与(x-2)²+(y-3)³=4a²+4有解，即(x-2)²+(ax-2a²-3）²=4a²+4有解，得x²-（4+a）x-（6a²+3）=0有解，得
应有△=（4+a）²+4（6a²+3）≥0，
得△=（5a+4/5）²+28-16/25显然满足△＞0，即圆与直线相交。