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直线L:y=x+3,椭圆C是以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点,且经过直线L上的点P,则椭圆长轴最短时椭圆的方程是
3个回答
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解:求点(1,0)关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程:x²/5+y²/4=1
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程:x²/5+y²/4=1
2011-02-28
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解:求点(1,0)关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程:x²/5+y²/4=1
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程:x²/5+y²/4=1
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法1:要使椭圆长轴最短
则椭圆与直线l相切
设椭圆方程为x²/a²+y²/(a²-1)=1
列方程组y=x+3,x²/a²+y²/(a²-1)=1
化简得(2a²-1)x²+6a²x+10a²-a⁴=0
∵相切∴Δ=(6a²)²-4(2a²-1)(10a²-a⁴)=0
解得a²=1或a²=5
∵a²>0 a²-1>o
∴a²=5
∴椭圆的方程为x²/5+y²/4=1
第2种方法:解:求点(1,0)关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
所以椭圆方程:x²/5+y²/4=1
则椭圆与直线l相切
设椭圆方程为x²/a²+y²/(a²-1)=1
列方程组y=x+3,x²/a²+y²/(a²-1)=1
化简得(2a²-1)x²+6a²x+10a²-a⁴=0
∵相切∴Δ=(6a²)²-4(2a²-1)(10a²-a⁴)=0
解得a²=1或a²=5
∵a²>0 a²-1>o
∴a²=5
∴椭圆的方程为x²/5+y²/4=1
第2种方法:解:求点(1,0)关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程:y=-x+b
代入点(1,0)
b=1
直线AF2:y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为(-1,2)
那么A(-3,4)
AF2的斜率=(4-0)/(-3+1)=-2
直线AF2:y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立,解得P(-5/3,4/3)
点P坐标,此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
所以椭圆方程:x²/5+y²/4=1
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