Question

直线L：y=x+3,椭圆C是以F1（-1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过直线L上的点P，则椭圆长轴最短时椭圆的方程是

Answer 1

解：求点（1，0）关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程：y=-x+b
代入点（1，0）
b=1
直线AF2：y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为（-1，2）
那么A（-3，4）
AF2的斜率=（4-0）/（-3+1）=-2
直线AF2：y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立，解得P（-5/3，4/3）
点P坐标，此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程：x²/5+y²/4=1

Answer 2

解：求点（1，0）关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程：y=-x+b
代入点（1，0）
b=1
直线AF2：y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为（-1，2）
那么A（-3，4）
AF2的斜率=（4-0）/（-3+1）=-2
直线AF2：y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立，解得P（-5/3，4/3）
点P坐标，此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
那么
椭圆方程：x²/5+y²/4=1

Answer 3

法1：要使椭圆长轴最短

则椭圆与直线l相切

设椭圆方程为x²/a²＋y²/(a²－1)＝1

列方程组y=x+3，x²/a²＋y²/(a²－1)＝1

化简得(2a²－1)x²＋6a²x＋10a²－a⁴＝0

∵相切∴Δ＝(6a²)²－4(2a²－1)(10a²－a⁴)＝0

解得a²＝1或a²＝5

∵a²＞0 a²－1＞o

∴a²＝5

∴椭圆的方程为x²/5＋y²/4＝1

第2种方法：解：求点（1，0）关于直线y=x+3的对称点A
AF2的斜率=-1
设直线AF2的方程：y=-x+b
代入点（1，0）
b=1
直线AF2：y=-x+1
与y=x+3联立
解得交点为（-1，2）
那么A（-3，4）
AF2的斜率=（4-0）/（-3+1）=-2
直线AF2：y=-2(x+1)=-2x-2(1)
y=x+3(2)
(1)(2)联立，解得P（-5/3，4/3）
点P坐标，此时椭圆长轴最短
PF2+PF1=√(-5/3+1)²+(4/3-0)²+√(-5/3-1)²+(4/3-0)²=2√5
此时a=√5
c=1
b²=a²-c²=5-1=4
所以椭圆方程：x²/5+y²/4=1