Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x成为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点。

是否存在区间[m，n]（m<n），使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m，3n]？若存在，请求出m，n的值。若不存在，请说明理由。

Answer 1

f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+1为偶函数，即2a+b=0
又因为f(x)=x只有唯一解，即方程ax^2+bx=x只有一解，△=(b-1)^2=0，所以b=1，a=-1/2
f(x)=-x^2/2 + x
当对称轴x=1∈[m,n]时，值域中3n为最大值1/2，即n=1/6，显然不可能使x=1∈[m,n]
当m＞1时，f(m)=3n，f(n)=3m，显然m,n均大于0，由f(x)＞0，可知m,n∈[1,2]，即3m,3n∈[3,6]，但f(x)的最大值不超过1/2，显然此时m、n不存在
当n＜1时，f(m)=3m，f(n)=3n，解得m=-4，n=0