Question

线性代数的问题

已知a4不能由a1，a2，a3线性表示，但a1能由a2，a3，a4线性表示，求证a1能由a2，a3线性表示。

Answer 1

证明: 由已知a1能由a2，a3，a4线性表示,
存在k2,k3,k4使得 a1 = k2a2+k3a3+k4a4.
又由已知察雹歼 a4不能由a1，a2，a3线性表败冲示,
则必有 k4 = 0.
假如 k4≠肆槐0, 则有
a4 = (1/k4)a1 - (k2/k4)a2 - (k3/k4)a3
这与a4不能由a1，a2，a3线性表示矛盾.
故 k4 = 0.
所以 a1 = k2a2+k3a3.
即 a1能由a2，a3线性表示.

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Answer 2

a1能由a2，a3，a4线携差性表示，设a1＝ka2＋sa3＋ta4。如果t≠0，则a4＝辩键皮(a1-ka2-sa3)/亮乎t，所以a4能由a1，a2，a3线性表示，矛盾。所以t＝0，a1＝ka2＋sa3，所以a1能由a2，a3线性表示