Question

设a,b,c都是实数,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)能表示为x的

设a,b,c都是实数,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)能表示为x的一次式的完全平方，试证：a=b=c

Answer 1

储备知识：
1）(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
2）当a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，且a，b，c为实数时，有a=b=c
证明：a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因为a，b，c为实数
所以(a-b)²≥0，(b-c)²≥0，(a-c)²≥0
所以仅当 a=b=c时
满足(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

解：题中说“(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)能表示为x的一次式的完全平方”
那么x的一次式就可用 px+q来表示（q≠0）

所以可用待定系数法求解
设 (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)= (px+q)²
左边=[x²+(a+b)x+ab]+[x²+(b+c)x+bc]+[x²+(a+c)x+ac]
=3x²+2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)
右边=p²x²+2pqx+q²

因为等式恒成立，所以两边关于x的多项式，二次项系数、一次项系数、常数项都相等
故有方程组
p²=3……①
2pq=2(a+b+c)……②
q²=ab+ac+bc……③
由②得q=(a+b+c)/p
q²=(a+b+c)²/p²=(a+b+c)²/3……④
④代入②，得 ab+ac+bc=(a+b+c)²/3
3(ab+ac+bc)= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
因为a、b、c是实数
所以a=b=c

【希望对你有帮助】

Answer 2

恩... 这貌似是我们学校 直升生 初升高的数学题啊 不知道楼主是不是

解：设原式=3(x+n)^2=3x^2+6nx+3n^2=3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ca
所以a+b+c=3n ab+bc+ca=3n^2 由对称性得到a=b=c

用对称性解的 希望对你有用