Question

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).

书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，（1），
且g(-x)=g(x)，h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)，（2）

利用(1)、（2）式，可以做出g(x)和h(x)，这个启发我们做如下证明：
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x)，
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
证毕.

没看懂这个题，也没看懂过程...
1这个题的条件和结论分别是什么？
2上面证明的过程是什么方法？有人说是反证，貌似也不是啊？
3本来就是让证明在(-l,l)上任意函数都能用一奇函数，一偶函数的和来表示，怎么证得这么不明不白？？？ 谢谢~~

Answer 1

要证的是存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)
条件是函数f(x)的定义域为(-l,l)
假若g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，（1），
且g(-x)=g(x)，h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)，（2）
这几句是必然成立的，无需证明，也没用到任何条件，纯属构造
只是一个铺垫，目的是引入g(x)和h(x)
主要是证这两个函数中有一个是奇函数一个是偶函数，这才是证明的核心所在，
只要找到了一个奇函数和一个偶函数来表示f(x)，证明就完成了
于是就有了下面的语句
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x)，
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
就是通过 f(x)把g(x)和h(x)表示出来
然后通过这种对称的形式证明了f(x) g(x)中一个是奇函数一个是偶函数

Answer 2

1 条件:存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x) 结论:f(x)=g(x)+h(x).
2 是反证 先肯定证明 然后在肯定 结论:f(x)=g(x)+h(x).
3 首先它利用 条件:存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x) 因为g(x)是偶函数 所以g(-x)=g(x) 因为 h(x)是奇函数 所以h(-x)=-h(x) 然后因为f(x)=g(x)+h(x). 所以f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)
然后将f(x)=g(x)+h(x)和f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) 相加得到g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 将f(x)=g(x)+h(x)和f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) 相减得到h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 最后面将g(x)=[f(x)+f(-x)]/2和h(x)=[f(x)-f(-x)]/2相加得到 g(x)+h(x)=f(x)

Answer 3

1条件是任意一个定义域在(-l,l)的函数，结论是都可以表示为在这个定义域内的一个奇函数和一个偶函数的和，
2上面不是反证法。但是你做了这么多年证明题，证明题的思路不都是从结论往条件反推么。也就是说上面是解题思路。给出思路就是怕你看不懂证明过程。
3其实证明白了，只是这么思考比较少，我高一时就证明过这个题了，当时也觉得很惊讶。奇函数和偶函数可以任意设，但是各个题要求不一样，就要按着要求的方向走，所以就从上面来了。
4给分，谢谢

Answer 4

1、这个题目的意思就是说，对于任意一个区间(－1，1)上的函数，都可以分拆成一个奇函数和一个偶函数的和。。
2、本题证明用的方法赋值法，具体求解就是相当于解方程组。
3、由于本题中的函数只用f(x)抽象地来表示，理解上可能有些难度。