Question

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数。且它的图像关于x=1对称。

(1)求f(0)的值。(2)证明：f(x)是周期函数. (3)若f(x)=x(0＜x≤1),求x∈R时函数f(x)的解析式，

Answer 1

由于f(x)为奇函数，且定义域为R ，所以有f(x)= - f(-x),所以就有f(0)=-f(-0),
化简：2f(0)=0,从而得：f(0)=0

因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以有f(x)= - f(-x)。
因为图像关于直线x=1对称，所以f(x)= f(2-x)，
所以f(2-x)=- f(-x)，
用X代换-X，可以得到f(2+x)=- f(x)，
用2+X代换X所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数

因为f(x)=x(0＜x≤1), f(0)=0，
所以当0≤X≤1时，f(x)=x ，而函数 是奇函数，所以f(x)=x，x∈[-1,1],
由f(x)的图像关于直线x=1对称，知x∈[1,3]时,f(x)= f(2-x)=-x+2
且知其周期为4,故得f(x)解析式为：
. f(x)=f(x-4n)=x-4n，x∈[4n-1, 4n+1], n∈Z
f(x) =f(x-4n)=-(x-4n)+2=-x+4n+2. x∈[4n+1,4n+3],n∈Z

Answer 2

，求x∈R时，函数f（x）的解析式， 1、由于f(x)为奇函数，且定义f(-x)。 因为图像关于直线x=1对称，所以f(x)= f(2-x)，所以f(2-x

Answer 3

（1）：f（0）=0
（2）：因为f(x)=-f-(x),
f(x)=f(2-x)
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
所以y=f(x)是以T=4的周期函数
（3):？？？