Question

已知抛物线y=x²+kx+1与x轴交于不同两点A和B，顶点为C，且∠ACB=90°，求k的值。试求如何平移此抛物线

是∠ACB=60°

Answer 1

(x1，0) B(x2，0)
y=x²+kx+1=(x+k/2)²-k²/4+1
根据韦达定理x1+x2=-k x1x2=1
|AB|²=(x1+x2)²-4x1x2=k²-4>0
C点坐标就是(-k/2，-k²/4+1)
∠ACB=60°
过C点作x轴的垂线交X轴为D,
CA=CB=AB DA=DB ∠DCB=60°/2=30°
|CD|=cos30°|AB|
(k²/4-1)^2=3/4*(k²-4)
k²=16或k²＝4(不成立）
k=4或k=-4

Answer 2

设抛物线y=x²+kx+1与x轴交于不同两点A（x1,0)和B(x2,0),则
x1+x2=-k,x1x2=1,
x1-x2=√（k^2-4)>0.
(k+2x1)(k+2x2)=k^2+2k(x1+x2)+4x1x2=k^2-2k^2+4=4-k^2.
顶点为C(-k/2,1-k^2/4)，∠ACB=60°,
由对称性知AC=BC,△ABC是等边三角形，
∴|1-k^2/4|=(√3/2）√（k^2-4),
约去√（k^2-4),乘以4，得√（k^2-4)=2√3，
平方得k^2-4=12,k^2=16,
∴k=土4.

Answer 3

A(x1，0) B(x2，0)
y=x²+kx+1=(x+k/2)²-k²/4+1
根据韦达定理x1+x2=-k x1x2=1
C点坐标就是(-k/2，-k²/4+1)
有|AB|²=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=k²-4
∠ACB=60°
作CE⊥AB于点E
60度的直角三角形中有
CE=√3*AB/2 |CE|²=3/4|AB|²
结合图像CE是C点纵坐标的相反数
上面算出来C的纵坐标是-k²/4+1
|AB|²=k²-4
那么(-k²/4+1)²=3/4(k²-4)
解之，得k²=16
k=±4