Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、BF相交于点G，连接GD，求证：

1、AE=BF，AE⊥BF；
2、AD=GD

Answer 1

BE=CF，AB=BC，角ABE=角BCF
故△ABE≌△BCF
故AE=BF，∠BAE=∠FBE
而∠BAE+∠BEA=90°故∠BEG+∠GEB=90°
故∠BGE=90°即BF⊥AE
取AB中点H连接DH交AE于M，则由上面的证明同理可得DH⊥AE
易证△ABG≌△DAM∽△AEB(过程有点多，但是很简单，我就不写了，见谅哈）
故AM=BG=AG/2即M为AG中点，即DH为AG的垂直平分线，故AD=DG

Answer 2

第一问证明
三角形BCF全等于ABF，两个小问就全出来了
第二问：
设AB＝a（向量）。AD＝b.
DG＝DA+AG＝DA+tAE＝-b+t（a+b/2）＝ta+（t/2-1）b
DG＝DF+FG＝DF+sFB＝a/2+s（a/2-b）＝（1/2+s/2）a-sb
1/2+s/2＝t, -s＝t/2-1 消去s t＝4/5.DG＝（4/5）a+（-3/5）b
DG²＝（4/5）²a²+（-3/5）²b²＝b²＝AD² .
|AD|＝|GD|

Answer 3

因为EF分别是中点，所以△ABE≌与△BCF 所以AE=BF
所以∠BAE=∠CBF，又因为∠AEB=∠AEB，所以△ABE≌三角形BGE，所以∠BGE=∠B=90°
连接AF，通过上式证明，得AF⊥DG，所以∠AFD=60°，所以∠AFG=60°，所以∠FGA=30°，所以∠AGD=60°=∠DAG
所以AD=DG

Answer 4

1.在正方形中，AB=BC,又E.F为线平分线，所以BE=FC,，又角B=角C,所以三角形ABE全等于三角形BCF，所以AE=BF,角FBC=角EAB，所以角BGE等于90度，角AE=角BF

Answer 5

1.因为EF分别为BC/CD中点，所以有BE=CF
又因为角c=角ABE
AB=BC
所以三角形ABE≌三角形BCF
所以AE=BF，角FBC=角BAE
因为角BAE+角AEB=90
角AEB+角FBC=90
所以角FBE+角AEB=90
所以AE⊥BF