Question

已知：△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．如图（1），易证AD=CE且AD⊥CE．（1）将△DBE绕点B顺时针旋转至

已知：△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．如图（1），易证AD=CE且AD⊥CE．（1）将△DBE绕点B顺时针旋转至图（2）的位置时，线段AD和CE有怎样的关系？（2）将△DBE绕点B逆时针旋转至图（3）的位置时，线段AD和CE又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择其一加以证明．

Answer 1

解：（1）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
在△ABD和△CBE中，

AB＝BC ∠ABC＝∠DBE BD＝BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
延长AD交CE于F，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠BEC=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE；

（2）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB＝BC ∠ABD＝∠CBE BD＝BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
设AD、CE交点为F，
则∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠AFC=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE．